›

Решение линейное уравнение парной регрессии. Уравнение регрессии

1. Основные определения и формулы

Парная регрессия - регрессия (связь) между двумя переменными и т.е. модель вида:

где - зависимая переменная (результативный признак);

- независимая объясняющая переменная (признак-фактор);

Возмущение или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных в модели факторов.

Практически в каждом отдельном случае величина складывается из двух слагаемых:

где - фактическое значение результативного признака;

Теоретическое значение результативного признака, найденное исходя из уравнения регрессии. Знак «^» означает, что между переменными и нет строгой функциональной зависимости.

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия описывается уравнением прямой

Нелинейные регрессии делятся на два класса:

1) регрессии, нелинейные по объясняющим переменным, но линейные по оцениваемым параметрам , например:

Полиномы разных степеней

Равносторонняя гипербола

2) регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам , например:

Степенная

Показательная

Экспоненциальная

Для построения парной линейной регрессии вычисляют вспомогательные величины ( - число наблюдений).

Выборочные средние : и

Выборочная ковариация между и

или

Ковариация - это числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин.

Выборочная дисперсия для

или

Выборочная дисперсия для

или

Выборочная дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг среднего значения (вариабельность, изменчивость).

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает выборочный коэффициент корреляции между и

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Чем ближе от по модулю к 1, тем ближе статистическая зависимость между и к линейной функциональной.

Если =0, то линейная связь между и отсутствует; <0,3 - связь слабая; 0,3<0,7 - связь умеренная; 0,7<0,9 - связь сильная; 0,9<0,99 - связь весьма сильная.

Положительное значение коэффициента свидетельствует о том, то связь между признаками прямая (с ростом увеличивается значение ), отрицательное значение - связь обратная (с ростом значение уменьшается).

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров и Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических минимальна, т.е.

Для линейной регрессии параметры и находятся из системы нормальных уравнений:

Решая систему, находим в на

и параметр

Коэффициент при факторной переменной показывает, насколько изменится в среднем величина при изменении фактора на единицу измерения.

Параметр когда Если не может быть равен 0, то не имеет экономического смысла. Интерпретировать можно только знак при если то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора, т.е. вариация результата меньше вариации фактора и наоборот.

Для оценки качества построенной модели регрессии можно использовать коэффициент детерминации либо среднюю ошибку аппроксимации .

К оэффициент детерминации

Или

показывает долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака Соответственно, величина характеризует долю дисперсии показателя вызванную влиянием неучтенных в модели факторов и прочих причин.

Чем ближе к 1, тем качественнее регрессионная модель, т.е. построенная модель хорошо аппроксимирует исходные данные.

Средняя ошибка аппроксимации - это среднее относительное отклонение теоретических значений от фактических т.е.

Построенное уравнение регрессии считается удовлетворительным, если значениене превышает 10-12%.

Для линейной регрессии средний коэффициент эластичности находится по формуле:

Средний коэффициент эластичности показывает на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат от своей величины при изменении фактора на 1% от своего значения.

Оценка з начимост и уравнения регрессии в целом дается с помощью -критерия Фишера, который заключается в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии. Для этого выполняется сравнениефактич е ского и критического (табличного) значений - критерия Фишера.

определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы, т.е.

- максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при степенях свободы =1, =-2 и уровне значимости находится из таблицы -критерия Фишера (таблица 1 приложения).

Уровень значимости - это вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна.

Если то гипотеза об отсутствии связи изучаемого показателя с фактором отклоняется и делается вывод о существенности этой связи с уровнем значимости (т.е. уравнение регрессии значимо).

Если то гипотеза принимается и признается статистическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии.

Для линейной регрессии значимость коэффициентов регрессии оценивают с помощью - критерия Стьюдента, согласно которому выдвигается гипотеза о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Далее рассчитываются фактические значения критерия для каждого из оцениваемых коэффициентов регрессии, т.е.

где и - стандартные ошибки параметров линейной регрессии определяются по формулам:

- максимально возможное значение критерия Стьюдента под влиянием случайных факторов при данной степени свободы =-2 и уровне значимости находится из таблицы критерия Стьюдента (таблица 2 приложения).

Если то гипотеза о несущественности коэффициента регрессии отклоняется с уровнем значимости т.е. коэффициент ( или )не случайно отличается от нуля и сформировался под влиянием систематически действующего фактора

Если то гипотеза не отклоняется и признается случайная природа формирования параметра.

Значимость линейного коэффициента корреляции также проверяется с помощью - критерия Стьюдента, т.е.

Гипотеза о несущественности коэффициента корреляции отклоняется с уровнем значимости если

Замечание. Для линейной парной регрессии проверки гипотез о значимости коэффициента и коэффициента корреляции равносильны проверке гипотезы о существенности уравнения регрессии в целом, т.е.

Для расчета доверительного интервала определяют предельную ошибку для каждого показателя, т.е.

Доверительные интервалы для коэффициентов линейной регрессии:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, т.к. он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего прогнозного значения Затем вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза

где

и строится доверительный интервал прогноза

Интервал может быть достаточно широк за счет малого объема наблюдений.

Регрессии, нелинейные по включенным переменным , приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью МНК.

Г ипербол ическая регрессия:

Р егрессии , нелинейны е по оцениваемым параметрам , делятся на два типа: внутренне нелинейные и т.п. (к линейному виду не приводятся) и внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований), например:

Экспоненциальная регрессия:

Линеаризующее преобразование:

Степенная регрессия:

Линеаризующее преобразование:

Показатель ная регрессия:

Линеаризующее преобразование:

Логарифмическ ая регрессия:

Линеаризующее преобразование:

2. Решение типовых задач

Пример 9 .1 . По 15 сельскохозяйственным предприятиям (табл. 9.1) известны: - количество техники на единицу посевной площади (ед/га) и - объем выращенной продукции (тыс. ден. ед.). Необходимо:

1) определить зависимость от

2) построить корреляционные поля и график уравнения линейной регрессии на

3) сделать вывод о качестве модели и рассчитать прогнозное значение при прогнозном значении составляющем 112% от среднего уровня.

Таблица 9.1

Решение:

1) В Excel составим вспомогательную таблицу 9.2.

Таблица 9.2

Рис. 9 .1. Таблица для расчета промежуточных значений

Вычислим количество измерений Для этого в ячейку В19 поместим =СЧЁТ(A2:A 16 ) .

С помощью функции ∑ (Автосумма) на панели инструментов Стандар т ная найдем сумму всех (ячейка В17 ) и (ячейка С17 ).

Рис. 9.2. Расчет суммы значений и средних

Для вычисления средних значений используем встроенную функцию MS Excel СРЗНАЧ(), в скобках указывается диапазон значений для определения средней. Таким образом, средний объем выращенной продукции по 15 хозяйствамсоставляет 210,833 тыс.ден. ед., а средние количество техники - 6,248ед/га.

Для заполнения столбцов D , E , F введем формулувычисления произведения: в ячейку D 2 поместим =B2*C2 , затем на клавиатуре нажмем ENTER. Щелкнем левой кнопкой мыши по ячейке D 2 и, ухватив за правый нижний угол этой ячейки (черный плюсик), потянем вниз до ячейки D 16 . Произойдет автоматическое заполнение диапазона D 3 - D 16 .

Для вычисления выборочн ой ковариации между и используем формулу т.е. в ячейку B 21 поместим =D 18- B 18* C 18 и получим 418,055 (рис. 9.3).

Рис. 9 .3. Вычисление

Выборочн ую дисперси ю для найдем по формуле для этого в ячейку B 22 поместим =E18-B18 ^2 (^- знак указывающий возведение в степень) и получим 11,337. Аналогично определяем =16745,05556 (рис. 9.4)

Рис. 9 .4. Вычисление Var (x ) и Var (y )

Далее используя стандартную функцию MS Excel «КОРРЕЛ» вычисляем значение линейного коэффициента корреляции для нашей задачи функция будет иметь вид «=КОРРЕЛ(B2:B16;C2:C16)», а значение rxy=0,96. Полученное значение коэффициента корреляции указывает на прямую и сильную связь наличия техники и объемов выращенной продукции.

Находим в ыборочный коэффициент линейной регрессии =36,87; параметр =-17,78. Значит, уравнение парной линейной регрессии имеет вид =-17,78+36,87

Коэффициент показывает, что при увеличении количества техники на 1 ед/га объем выращенной продукции в среднем увеличится на 36,875 тыс. ден. ед. (рис. 9.5)

Рис. 9 .5. Расчет параметров уравнения регрессии.

Таким образом, уравнение регрессии будет иметь вид: .

Подставляем в полученное уравнение фактические значения x (количество техники) находим теоретические значения объемов выращенной продукции (рис. 9.6).

Рис. 9 .6. Расчет теоретических значений объемов выращенной продукции

Используя Мастер диаграмм строим корреляционные поля (выделяя столбцы со значениями и ) и уравнение линейной регрессии (выделяя столбцы со значениями и ). Выбираем тип диаграммы - Т очечная В полученной диаграмме заполняем нужные параметры (название, подписи к осям, легенду и т.п.). В результате получим график представленный на рис. 9.7.

Рис. 9 .7. График зависимости объема выращенной продукции от количества техники

Для оценки качества построенной модели регрессии вычислим:

. к оэффициент детерминации =0,92, который показывает, что изменение затрат на выпуск продукции на 92% объясняется изменением объема произведенной продукции а 8% приходится на долю неучтенных в модели факторов, что указывает на качественность построенной регрессионной модели;

. с редн юю ошибк у аппроксимации . Для этого в столбце H вычислим разность фактического и теоретического значений а в столбце I - выражение . Обращаем Ваше внимание, что для вычисления значения по модулю используется стандартная функция MS Excel «ABS». При умножении среднего значения (ячейка I 18 ) на 100% получим 18,2%. Следовательно, в среднем теоретические значенияотклоняются от фактических на 18,2%(рис. 1.8).

С помощью -критерия Фишераоценим з начимост ь уравнения регре с сии в целом : 150,74.

На уровне значимости 0,05 =4,67 определяем c помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР (рис. 1.9). При этом необходимо помнить, что «Степени_свободы1» это знаменатель , а «Степени_свободы2» - числитель , где - число параметров в уравнении регрессии (у нас 2), n - число исходных пар значений (у нас 15).

Так как то уравнение регрессии значимо при =0,05.

Рис. 9 .8. Определение коэффициента детерминации и средней ошибки апроксимации

Рис. 9 . 9 . Диалоговое окно функции FРАСПОБР

Далее определяем с редний коэффициент эластичности по формуле. Найденное показывает, что с ростом объема произведенной продукции на 1% затраты на выпуск этой продукции в среднем по совокупности возрастут на 1,093%.

Рассчитаем прогнозное значение путем подстановки в уравнение регрессии =-19,559+36,8746 прогнозного значения фактора =1,12=6,248*1,12=6,9978. Получим =238,48. Следовательно, при количестве техники в количестве 6,9978ед/гаобъем выпущенной продукции составит 238,48 тыс. ден. ед.

Найдем остаточную дисперсию, для этого вычислим сумму квадратов разности фактического и теоретического значений. =39,166 поместив следующую формулу =КОРЕНЬ(J17/(B19-2)) в ячейку H 2 1 (рис. 9.10).

Рис. 9 .10. Определение остаточной дисперсии

С редн яя стандартн ая ошибка прогноза :

На уровне значимости =0,05 с помощью встроенной статистической функции СТЬЮДРАСПОБР определим =2,1604 и вычислим предельную ошибку прогноза, которая в 95% случаев не будет превышать .

Д оверительный интервал прогноза :

Или .

Выполненный прогноз затрат на выпуск продукции оказался надежным (1-0,05=0,95), но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет раза. Это произошло за счет малого объема наблюдений.

Необходимо отменить, что в MS Excel встроены статистические функции позволяющие значительно снизить количество промежуточных вычислений, например (рис. 9.11.):

Для вычисления в ыборочны х средни х используем функцию СРЗНАЧ(число1:число N ) из категории Статистические .

Выборочная ковариация между и находится с помощью функции КОВАР(массив X ;массив Y ) из категории Статистические .

Выборочн ые дисперси и определяются статистической функцией ДИСПР(число1:число N ) .

Рис. 9 .11. Вычисление п оказателей встроенными функциями MS Excel

П араметр ы линейной регрессии в Excel можно определить несколькими способами.

1 способ) С помощью встроенной функции ЛИНЕЙН . Порядок действий следующий:

1. Выделить область пустых ячеек 5x2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики или область 1x2 - для получения только коэффициентов регрессии.

2. С помощью Мастера функций среди Статистических выбрать функцию ЛИНЕЙН и заполнить ее аргументы (рис. 9.12):

Рис. 9 . 12 . Диалоговое окно ввода аргументов функции ЛИНЕЙН

Известные_значения_ y

Известные_значения_ x

Конст - логическое значение (1 или 0), которое указывает на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении; ставим 1;

Статистика - логическое значение (1 или 0), которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет; ставим 1.

3. В левой верхней ячейке выделенной области появится первое число таблицы. Для раскрытия всей таблицы нужно нажать на клавишу < F 2> , а затем - на комбинацию клавиш < CTRL > + < SHIFT > + < ENTER > .

Дополнительная регрессионная статистика будет выведена в виде (табл. 9.3):

Таблица 9.3

Значение коэффициента

Значение коэффициента

Среднеквадратическое
отклонение

Среднеквадратическое
отклонение

Коэффициент
детерминации

Среднеквадратическое
отклонение

Статистика

Число степеней свободы

Регрессионная сумма квадратов

Остаточная сумма квадратов

В результате применения функции ЛИНЕЙН получим:

( 2 способ) С помощью инструмента анализа данных Регрессия можно получить результаты регрессионной статистики, дисперсионного анализа, доверительные интервалы, остатки, графики подбора линий регрессии, графики остатков и нормальной вероятности. Порядок действий следующий:

1. Необходимо проверить доступ к Пакету анализа . Для этого в главном меню (через кнопку Microsoft Office получить доступ к параметрам MS Excel) в диалоговом окне «Параметры MS Excel » выбрать команду «Надстройки» и справа выбрать надстройку Пакета анализ а далее нажать кнопку «Перейти» (рис. 9.13). В открывшемся диалоговом окне поставить галочку напротив «Пакет анализа» и нажать «ОК» (рис. 9.14).

На вкладке «Данные» в группе «Анализ» появится доступ к установленной надстройке. (рис. 9.15).

Рис. 9 .13. Включение надстроек в MS Excel

Рис. 9 .14. Диалоговое окно «Надстройки»

Рис. 9 .15. Надстройка «Анализ данных» на ленте MS Excel 2007 .

2. Выбрать на «Данные» в группе «Анализ» выбираем команду Анализ да н ных в открывшемся диалоговом окне выбрать инструмент анализа «Регрессия» и нажать «ОК» (рис. 9.16):

Рис. 9 .16. Диалоговое окно «Анализ данных»

В появившемся диалоговом окне (рис. 9.17) заполнить поля:

Входной интервал Y - диапазон, содержащий данные результативного признака Y;

Входной интервал X - диапазон, содержащий данные объясняющего признака X;

Метки - флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Конст анта-ноль - флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа, на который будут выведены результаты.

Рис. 9 .17. Диалоговое окно «Регрессия»

Для получения информации об остатках, графиков остатков, подбора и нормальной вероятности нужно установить соответствующие флажки в диалоговом окне.

Рис. 9 . 18 . Результаты применения инструмента Регрессия

В MS Excel линия тренда может быть добавлена в диаграмму с областями гистограммы или в график. Для этого:

1. Необходимо выделить область построения диаграммы и в ленте выбрать «Макет» и в группе анализ выбрать команду «Линия тренда» (рис. 9.19.). В выпадающем пункте меню выбрать «Дополнительные параметры линии тренда».

Рис. 1.19. Лента

2. В появившемся диалоговом окне выбрать фактические значения, затем откроется диалоговое окно «Формат линии тренда» (рис. 9.20.) в котором выбирается вид линии тренда и устанавливаются соответствующие параметры.

Рис. 9 . 20 . Диалоговое окно «Формат линии тренда»

Для полиноминального тренда необходимо задать степень аппроксимирующего полинома, для линейной фильтрации - количество точек усреднения.

Выбираем Линейная для построения уравнения линейной регрессии.

В качестве дополнительной информации можно показать уравнение на ди а грамме и поместить на диаграмму величину (рис.9.21).

Рис. 9 . 21 . Линейный тренд

Нелинейные модели регрессии иллюстрируются при вычислении параметров уравнения с применением выбранной в Excel статистической функции Л ГРФПРИБЛ . Порядок вычислений аналогичен применению функции ЛИНЕЙН.

Парная линейная регрессия

Предварительные расчеты :

;
;
;
;
;

;
.

Построение таблицы вида

Среднее значение

Формулы для расчетов параметров:

,
.

Линейн

Оценка тесноты связи :

а) коэффициент корреляции
, или
;

При компьютерном подборе использовать встроенную функцию Коррел

б) коэффициент эластичности
;

в) коэффициент детерминации .

Оценка значимости уравнения регрессии в целом:

Предварительные расчеты с построением таблицы вида

а) F -критерий Фишера при числе степеней свободы
и
и уровне значимости 0,05 смотреть в таблице. Расчетное значение критерия:

.

Если расчетное значение F- критерия больше табличного, нулевая гипотеза об отсутствии значимой связи признаков x и y отклоняется, и делается вывод о существенности этой связи.

б) Средняя ошибка аппроксимации

.

Оценка значимости параметров регрессии:

а) Стандартная ошибка параметра a рассчитывается по формуле

, где
.

б) Стандартная ошибка коэффициента регрессии b рассчитывается по формуле

.

в) Стандартная ошибка коэффициента корреляции рассчитывается по формуле

.

t -критерий Стъюдента при числе степеней свободы
и уровне значимости 0,05 смотреть в таблице.

Фактические значения t -статистики:

,
,
.

Если фактическое значение по абсолютной величине превышает табличное, гипотезу о несущественности параметра регрессии можно отклонить, параметр признается значимым.

Связь между F -критерием Фишера и t -критерием Стъюдента выражается равенством

.

Расчет доверительных интервалов для параметров регрессии:

Доверительный интервал для параметра a определяется как
;

доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как
.

При компьютерном анализе использовать в Excel Сервис/Анализ данных/Регрессия.

Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии:

Пусть – прогнозное значение факторного признака;
– точечный прогноз результативного признака. Тогда

а) средняя ошибка прогноза :

;

б) доверительный интервал прогноза

с помощью табличного редактора MS Excel

Активизация надстройки Пакет анализа

Для активизации надстройки Пакет анализа необходимо выполнить следующие действия:

1. Выбрать команду Сервис/Надстройки.

2. В появившемся диалоговом окне установить флажок Пакет анализа.

В соответствии с вариантом задания, используя статистический материал, необходимо :

2. Оценить тесноту связи зависимой переменной (результативного фактора) с объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. Оценить с помощью F -критерия Фишера статистическую надежность моделирования.

4. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

5. Определить среднюю ошибку аппроксимации.

6. Используя коэффициент эластичности, выполнить количественную оценку влияния объясняющего фактора на результат.

7. Выполнить точечный и интервальный прогноз результативного признака при увеличении объясняющего признака на 25% от его среднего значения (достоверность прогноза 95%).

8. На одной диаграмме изобразить поле корреляции исходных данных и прямую регрессии.

Пример

Имеются данные о годовой цене программы «Мастер делового администрирования» и числе слушателей в образовательном учреждении.

I. Вводим исходные данные в документ Excel .

II. Вызываем надстройку Анализ данных в меню Сервис.

III. Выбираем инструмент Регрессия .

IV. Заполняем соответствующие позиции окна Регрессия.

V. После нажатия Ок получаем протокол решения задачи.

VI. Анализируем полученный протокол.

1) Коэффициент регрессии ;

Свободный член уравнения регрессии
.

Примечание . При необходимости результаты округляются с нужной точностью. Требование по округлению можно провести изначально, задав количество знаков после запятой в меню Формат ячейки.

Уравнение парной линейной регрессии имеет вид: .

2) Коэффициент корреляции
, что свидетельствует о тесной связи признаковy и x . Коэффициент детерминации
. Полученное уравнение регрессии объясняет 53% вариации признакаy , остальные 47% изменчивости этого признака обусловлены влиянием неучтенных в модели факторов.

3) Оценим статистическую значимость (надежность моделирования) уравнения в целом. Расчетное значение критерия Фишера указано в протоколе,
. Критическое значение этого критерия можно найти с помощь статистической функцииF РАСПОБР табличного редактора Е xcel .

Входными параметрами этой функции являются:

– уровень значимости (вероятность), имеется в виду вероятность ошибки отвергнуть верную гипотезу о статистической незначимости построенного уравнения регрессии. Как правило, выбирают уровень значимости, равный 0,05 или 0,01;

– число степеней свободы 1 – совпадает с количеством параметров при переменной в уравнении регрессии, для парной линейной регрессии
это число равно единице;

– число степеней свободы 2 равно для парной линейной регрессии
, гдеn – объем исходных статистических данных.

Выполняем действия Вставка/Функция , выбираем нужное.

Поскольку расчетное значение F-критерия больше табличного, равного 4,84, нулевая гипотеза об отсутствии значимой связи признаков x и y отклоняется и делается вывод о существенности этой связи.

4) Оценим статистическую значимость параметров a и b в уравнении регрессии с помощью t - критерия Стъюдента.

Расчетные значения статистики Стъюдента
,
. Соответствующее табличное значение можно определить через статистическую функциюСТЪЮДРАСПОБР , число степеней свободы равно
.

Поскольку фактические значения по абсолютной величине превышают табличное, равное 2,2, гипотезу о несущественности параметров регрессии можно отклонить.

5) Определим среднюю ошибку аппроксимации,
. Понадобится выполнение вспомогательных расчетов, оформленных в виде таблицы.

Таким образом, средняя ошибка аппроксимации по данному уравнению регрессии составляет 12,66%, модель парной линейной регрессии можно признать удовлетворительной и пригодной для прогнозирования.

6) Выполним количественную оценку влияния фактора x на фактор y , используя коэффициент эластичности. Для парной линейной регрессии его можно найти по формуле
. Имеем

.

Следовательно, при увеличении количества слушателей на 1% годовая цена уменьшится на 0,4%.

7) Выполним расчет прогноза y при увеличении фактора x на 25% от среднего.

Прогнозное значение .

Точечный прогноз признака y : .

Средняя ошибка прогноза равна ,

где
– остаточная дисперсия,
–дисперсия фактораx .

Численное значение суммы
в протоколе обозначено как остаточноеSS.

Тогда
,
.

Самый быстрый способ получения вспомогательных характеристик – среднего значения фактораx и - дисперсии, воспользоваться инструментомОписательная статистика в пакете Анализ данных.

Протокол вывода результатов имеет вид

Доверительный интервал прогноза: , где– соответствующее табличное значение критерия Стъюдента (найдено ранее по функцииСТЪЮДРАСПОБР ,
).

Следовательно,

т.е. можно быть уверенным на 95%, что цена годового курса при 35 слушателях будет варьироваться в указанных пределах (при точечном прогнозе цены в 3,65825 тыс. долл.).

8) Для построения диаграммы выполним следующие действия:

Шаг 1 Вставка/ Диаграмма/График

Шаг 3 Ряд/Добавить/Значения/ Выделить столбец регрессионных значений фактора – .

Шаг 4 Подписи оси X / Выделить столбец значений x .

Шаг 4 Каждому из рядов присвоить имя, подписать оси координат и название диаграммы.

Примечание.

Для построения диаграммы значения фактора x должны быть отсортированы по возрастанию с сохранением соответствующего значения y . Это может быть сделано так Данные/Сортировка/ Выделить столбец, в котором необходимо сделать сортировку. Например,

Задания для самостоятельной работы

Вариант 1

x

y

Вариант 2

x – энерговооруженность на 10-ти предприятиях, кВт;

y – производительность труда, тыс. руб.

Вариант 3

x – качество земли, баллы;

y – урожайность, ц/га.

Вариант 4

x – качество земли, баллы;

y – урожайность, ц/га.

Вариант 5

x – товарооборот;

y –издержки обращения по отношению к товарообороту.

Вариант 6

x – электровооруженность на одного рабочего;

y – выпуск готовой продукции на одного рабочего.

Вариант 7

x –уровень доходов семьи;

y – расходы на продукты питания (в расчете на 100 руб. доходов).

И корреляция

1.1. Понятие регрессии

Парной регрессией называется уравнение связи двух переменных у и х

вида y = f (x ),

где у – зависимая переменная (результативный признак); х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия описывается уравнением: y = a + b × x +e .

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примеры регрессий, нелинейных по объясняющим переменным, но ли-

нейных по оцениваемым параметрам:

· полиномы разных степеней

· равносторонняя гипербола:

Примеры регрессий, нелинейных по оцениваемым параметрам:

· степенная

· показательная

· экспоненциальная

Наиболее часто применяются следующие модели регрессий:

– прямой

– гиперболы

– параболы

– показательной функции

– степенная функция

1.2. Построение уравнения регрессии

Постановка задачи. По имеющимся данным n наблюдений за совместным

изменением двух параметров x и y {(xi ,yi ), i=1,2,...,n} необходимо определить

аналитическую зависимость ŷ=f(x) , наилучшим образом описывающую данные наблюдений.

Построение уравнения регрессии осуществляется в два этапа (предполагает решение двух задач):

– спецификация модели (определение вида аналитической зависимости

ŷ=f(x) );

– оценка параметров выбранной модели.

1.2.1. Спецификация модели

Парная регрессия применяется, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной.

Применяется три основных метода выбора вида аналитической зависимости:

– графический (на основе анализа поля корреляций);

– аналитический, т. е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи;

– экспериментальный, т. е. путем сравнения величины остаточной дисперсии D ост или средней ошибки аппроксимации , рассчитанных для различных

моделей регрессии (метод перебора).

1.2.2. Оценка параметров модели

Для оценки параметров регрессий, линейных по этим параметрам, используется метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических значений ŷx при тех же значениях фактора x минимальна, т. е.

В случае линейной регрессии параметры а и b находятся из следующей

системы нормальных уравнений метода МНК:

(1.1)

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой

(1.2)

Для нелинейных уравнений регрессии, приводимых к линейным с помощью преобразования (x , y ) → (x’ , y’ ), система нормальных уравнений имеет

вид (1.1) в преобразованных переменных x’ , y’ .

Коэффициент b при факторной переменной x имеет следующую интерпретацию: он показывает, на сколько изменится в среднем величина y при изменении фактора x на 1 единицу измерения .

Гиперболическая регрессия :

x’ = 1/x ; y’ = y .

Уравнения (1.1) и формулы (1.2) принимают вид

Экспоненциальная регрессия:

Линеаризующее преобразование: x’ = x ; y’ = lny .

Модифицированная экспонента : , (0 < a 1 < 1).

Линеаризующее преобразование: x’ = x ; y’ = ln │y – К│.

Величина предела роста K выбирается предварительно на основе анализа

поля корреляций либо из качественных соображений. Параметр a 0 берется со

знаком «+», если y х > K и со знаком «–» в противном случае.

Степенная функция:

Линеаризующее преобразование: x’ = ln x ; y’ = ln y .

Показательная функция:

Линеаризующее преобразование: x’ = x ; y’ = lny .

https://pandia.ru/text/78/146/images/image026_7.jpg" width="459" height="64 src=">

Парабола второго порядка :

Парабола второго порядка имеет 3 параметра a 0, a 1, a 2, которые определяются из системы трех уравнений

1.3. Оценка тесноты связи

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент

парной корреляции rxy для линейной регрессии (–1 ≤ r xy ≤ 1)

и индекс корреляции ρxy для нелинейной регрессии

Имеет место соотношение

Долю дисперсии, объясняемую регрессией , в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент детерминации r2xy (для линейной регрессии) или индекс детерминации (для нелинейной регрессии).

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

Для оценки качества построенной модели регрессии можно использовать

показатель (коэффициент, индекс) детерминации R 2 либо среднюю ошибку аппроксимации.

Чем выше показатель детерминации или чем ниже средняя ошибка аппроксимации, тем лучше модель описывает исходные данные.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее относительное отклонение

расчетных значений от фактических

Построенное уравнение регрессии считается удовлетворительным, если

значение не превышает 10–12 %.

1.4. Оценка значимости уравнения регрессии, его коэффициентов,

коэффициента детерминации

Оценка значимости всего уравнения регрессии в целом осуществляется с

помощью F -критерия Фишера.

F- критерий Фишера заключается в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии. Для этого выполняется сравнение

фактического F факт и критического (табличного) F табл значений F- критерия

Фишера.

F факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной

дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы

где n – число единиц совокупности; m – число параметров при переменных.

Для линейной регрессии m = 1 .

Для нелинейной регрессии вместо r 2 xy используется R 2.

F табл – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при степенях свободы k1 = m , k2 = n – m – 1 (для линейной регрессии m = 1) и уровне значимости α.

Уровень значимости α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу

при условии, что она верна. Обычно величина α принимается равной 0,05 или

Если F табл < F факт, то Н0 -гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F табл > F факт, то гипотеза Но не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов линейной регрессии и линейного коэффициента парной корреляции применяется

t- критерий Стьюдента и рассчитываются доверительные интервалы каждого

из показателей.

Согласно t- критерию выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т. е. о незначимом их отличии от нуля. Далее рассчитываются фактические значения критерия t факт для оцениваемых коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции путем сопоставления их значений с величиной стандартной ошибки

Стандартные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента

корреляции определяются по формулам

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t- статистики

t табл и t факт принимают или отвергают гипотезу Но.

t табл – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данной степени свободы k = n– 2 и уровне значимости α.

Связь между F- критерием Фишера (при k 1 = 1; m =1) и t- критерием Стьюдента выражается равенством

Если t табл < t факт, то Но отклоняется, т. е. a, b и не случайно отличаются

от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если t табл > t факт, то гипотеза Но не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b или https://pandia.ru/text/78/146/images/image041_2.jpg" width="574" height="59">

F табл определяется из таблицы при степенях свободы k 1 = 1, k 2 = n –2 и при

заданном уровне значимости α. Если F табл < F факт, то признается статистическая значимость коэффициента детерминации. В формуле (1.6) величина m означает число параметров при переменных в соответствующем уравнении регрессии.

1.5. Расчет доверительных интервалов

Рассчитанные значения показателей (коэффициенты a , b , ) являются

приближенными, полученными на основе имеющихся выборочных данных.

Для оценки того, насколько точные значения показателей могут отличаться от рассчитанных, осуществляется построение доверительных интервалов.

Доверительные интервалы определяют пределы, в которых лежат точные значения определяемых показателей с заданной степенью уверенности, соответствующей заданному уровню значимости α.

Для расчета доверительных интервалов для параметров a и b уравнения линейной регрессии определяем предельную ошибку Δ для каждого показателя:

Величина t табл представляет собой табличное значение t- критерия Стьюдента под влиянием случайных факторов при степени свободы k = n –2 и заданном уровне значимости α.

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

https://pandia.ru/text/78/146/images/image045_3.jpg" width="188" height="62">

где t γ – значение случайной величины, подчиняющейся стандартному нормальному распределению, соответствующее вероятности γ = 1 – α/2 (α – уровень значимости);

z’ = Z (rxy) – значение Z- распределения Фишера, соответствующее полученному значению линейного коэффициента корреляции rxy .

Граничные значения доверительного интервала (r– , r+ ) для rxy получаются

из граничных значений доверительного интервала (z– , z+ ) для z с помощью

функции, обратной Z- распределению Фишера

1.6. Точечный и интервальный прогноз по уравнению линейной

регрессии

Точечный прогноз заключается в получении прогнозного значения уp , которое определяется путем подстановки в уравнение регрессии

соответствующего (прогнозного
) значения x p

Интервальный прогноз заключается в построении доверительного интервала прогноза, т. е. нижней и верхней границ уpmin, уpmax интервала, содержащего точную величину для прогнозного значения https://pandia.ru/text/78/146/images/image050_2.jpg" width="37" height="44 src=">

и затем строится доверительный интервал прогноза , т. е. определяются нижняя и верхняя границы интервала прогноза

Контрольные вопросы:

1. Что понимается под парной регрессией?

2. Какие задачи решаются при построении уравнения регрессии?

3. Какие методы применяются для выбора вида модели регрессии?

4. Какие функции чаще всего используются для построения уравнения парной регрессии?

5. Какой вид имеет система нормальных уравнений метода наименьших квадратов в случае линейной регрессии?

6. Какой вид имеет система нормальных уравнений метода наименьших квадратов в случае гиперболической, показательной регрессии?

7. По какой формуле вычисляется линейный коэффициент парной корреляции r xy ?

8. Как строится доверительный интервал для линейного коэффициента парной корреляции?

9. Как вычисляется индекс корреляции?

10. Как вычисляется и что показывает индекс детерминации?

11. Как проверяется значимость уравнения регрессии и отдельных коэффициентов?

12. Как строится доверительный интервал прогноза в случае линейной регрессии?

Лабораторная работа № 1

Задание.1 На основании данных табл. П1 для соответствующего варианта (табл. 1.1):

1. Вычислить линейный коэффициент парной корреляции.

2. Проверить значимость коэффициента парной корреляции.

3. Построить доверительный интервал для линейного коэффициента парной корреляции.

Задание. 2 На основании данных табл. П1 для соответствующего варианта (табл. 1.1):

1. Построить предложенные уравнения регрессии, включая линейную регрессию.

2. Вычислить индексы парной корреляции для каждого уравнения.

3. Проверить значимость уравнений регрессии и отдельных коэффициентов линейного уравнения.

4. Определить лучшее уравнение регрессии на основе средней ошибки аппроксимации.

5. Построить интервальный прогноз для значения x = x max для линейного

уравнения регрессии.

Требования к оформлению результатов

Отчет о лабораторной работе должен содержать разделы:

1. Описание задания;

2. Описание решения лабораторной работы (по этапам);

3. Изложение полученных результатов.

Таблица П1

Исходные данные к лабораторным работам № 1, 2

Наличие предметов длительного пользования в домашних хозяйствах по регионам Российской Федерации (европейская часть территории без республик Северного Кавказа) (по материалам выборочного обследования бюджетов домашних хозяйств; на 100 домохозяйств; штук)

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Важным и нетривиальным этапом построения регрессионной модели является выбор уравнения регрессии. Этот выбор основывается на теоретических данных об изучаемом явлении и предварительном анализе имеющихся статистических данных.

Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

где - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии; - коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

Модель регрессии строится на основании статистических данных, причем могут использоваться как индивидуальные значения признака, так и сгруппированные данные. Для выявления связи между признаками по достаточно большому числу наблюдений статистические данные предварительно группируют по обоим признакам и строят корреляционную таблицу. При помощи корреляционной таблицы отображается только парная корреляционная связь, т.е. связь результативного признака с одним фактором. Оценка параметров уравнения регрессии осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и требование минимальности суммы квадратов отклонений эмпирических данных от выровненных значений результативного фактора :

.

Для линейного уравнения регрессии имеем:

Для нахождения минимума данной функции приравняем к нулю ее частные производные и получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений:

где - объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).

Решение системы нормальных уравнений позволяет найти параметры уравнения регрессии .

Коэффициент парной линейной регрессии является средним значением в точке , поэтому его экономическая интерпретация затруднена. Смысл этого коэффициента можно трактовать как усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов. Коэффициент показывает, на сколько в среднем изменяется значение результативного признака при изменении факторного признака на единицу.

После получения уравнения регрессии необходимо проверить его адекватность, то есть соответствие фактическим статистическим данным. С этой целью производится проверка значимости коэффициентов регрессии: выясняется, насколько эти показатели характерны для всей генеральной совокупности, не являются ли они результатом случайного стечения обстоятельств.

Для проверки значимости коэффициентов простой линейной регрессии при объеме совокупности меньше 30 единиц используется критерий Стьюдента. Сопоставляя значение параметра с его средней ошибкой, определяют величину критерия:


где - средняя ошибка параметра .

Средняя ошибка параметров и рассчитываются по следующим формулам:

; ,

– объем выборки;

Среднеквадратическое отклонение результативного признака от выровненных значений ;

Среднеквадратическое отклонение факторного признака от общей средней :

или

Тогда расчетные (фактические) значения критерия соответственно равны:

- для параметра ;

- для параметра .

Вычисленные значения критерия сравниваются с критическими значениями , которые определяют по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы , где - объем выборки, -1 ( - число факторных признаков). В социально-экономических исследованиях уровень значимости обычно принимают 0.05 или 0.01. Параметр признается значимым, если (отклоняется гипотеза о том, что параметр лишь в силу случайных обстоятельств оказался равным полученной величине, а в действительности равен нулю).

Адекватность регрессионной модели может быть оценена при помощи -критерия Фишера. Расчетное значение критерия определяется по формуле ,

где - число параметров модели;

Объем выборки.

По таблице определяется критическое значение -критерия Фишера для принятого уровня значимости и числа степеней свободы , . Если , то модель регрессии признается адекватной по этому критерию (отвергается гипотеза о несоответствии заложенных в уравнении и реально существующих связей).

Вторая задача корреляционно-регрессионного анализа – измерение тесноты зависимости результативного и факторного признака.

Для всех видов связи задача измерения тесноты зависимости может быть решена с помощью исчисления теоретического корреляционного отношения:

,

где - дисперсия в ряду выровненных значений результативного признака , обусловленная факторным признаком ;

- дисперсия в ряду фактических значений . Это общая дисперсия, которая слагается из дисперсии, обусловленной фактором (т.е. факторной дисперсии), и дисперсии остатка (отклонение эмпирических значений признака от выровненных теоретических).

На основании правила сложения дисперсий теоретическое корреляционное отношение может быть выражено через остаточную дисперсию :

.

Так как дисперсия отражает вариацию в ряду только за счет вариации фактора , а дисперсия отражает вариацию за счет всех факторов, то их отношение, именуемое теоретическим коэффициентом детерминации , показывает, какой удельный вес в общей дисперсии ряда занимает дисперсия, вызываемая вариацией фактора . Квадратный корень из отношения этих дисперсий дает теоретическое корреляционное отношение. При нелинейных связях теоретическое корреляционное отношение называют индексом корреляции и обозначают .

Если , то это означает, что роль других факторов в вариации отсутствует, остаточная дисперсия равна нулю и отношение означает полную зависимость вариации от . Если , то это означает, что вариация никак не влияет на вариацию , и в этом случае . Следовательно, корреляционное отношение принимает значения от 0 до 1. Чем ближе корреляционное отношение к 1, тем теснее связь между признаками.

Кроме того, при линейной форме уравнения связи применяется другой показатель тесноты связи – линейный коэффициент корреляции:

.

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до 1. Отрицательные значения указывают на обратную зависимость, положительные – на прямую. Чем ближе модуль коэффициента корреляции к единице, тем теснее связь между признаками.

Приняты следующие граничные оценки линейного коэффициента корреляции:

Связи нет;

Связь слабая;

Связь посредственная;

Связь сильная;

Связь очень сильная.

Квадрат линейного коэффициента корреляции называют линейным коэффициентом детерминации.

Факт совпадения или несовпадения теоретического корреляционного отношения и линейного коэффициента корреляции используется для оценки формы зависимости. Их значения совпадают только при наличии линейной связи. Несовпадение этих величин свидетельствует о нелинейности связи между признаками. Принято считать, что если , то гипотезу о линейности связи можно считать подтвержденной.

Показатели тесноты связи, особенно исчисленные по данным сравнительно небольшой статистической совокупности, могут искажаться действием случайных причин. Это вызывает необходимость проверки их надежности (значимости), дающей возможность распространять выводы, полученные по выборочным данным, на генеральную совокупность.

Для этого рассчитывается средняя ошибка коэффициента корреляции:

Где - число степеней свободы при линейной зависимости.

Затем находится отношение коэффициента корреляции к его средней ошибке, то есть , которое сравнивается с табличным значением критерия Стьюдента.

Если фактическое (расчетное) значение больше табличного (критического, порогового), то линейный коэффициент корреляции считается значимым, а связь между и - реальной.

После проверки адекватности построенной модели (уравнения регрессии) ее необходимо проанализировать. Для удобства интерпретации параметра используют коэффициент эластичности. Он показывает средние изменения результативного признака при изменении факторного признака на 1% и вычисляется по формуле:

Точность полученной модели может быть оценена на основании значения средней ошибки аппроксимации:

Кроме того, в некоторых информативными являются данные об остатках, характеризующих отклонение -х наблюдений от расчетных значений . Особый экономический интерес представляют значения, остатки которых имеют наибольшие положительные или отрицательные отклонения от ожидаемого уровня анализируемого показателя.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

хорошую работу на сайт">

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http :// www . allbest . ru /

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»

Факультет экономики и менеджмента

Кафедра «Экономики, финансов и бухгалтерского учета»

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

по дисциплине «Эконометрика»

Студент группы

А.Ю. Зайченко

Преподаватель

И.И. Антонова

Таблица 1

Номер региона

Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,

Среднедневная заработная плата, руб.,

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии от.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.

4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума, составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2. линейный корреляция аппроксимация регрессия

Таблица 2

Среднее значение

Получено уравнение регрессии:

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,89 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

Это означает, что 51% вариации заработной платы () объясняется вариацией фактора - среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8-10%.

3. Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет. Так как, то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и составит.

Определим случайные ошибки, :

Фактические значения -статистики превосходят табличное значение:

поэтому параметры, и не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы. Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:

тогда прогнозное значение заработной платы составит:

Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза, которая в случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным () и находится в пределах от 131,66 руб. до 190,62 руб. В заключение решения задачи построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую (рисунок1)

Рисунок 1

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

    Построение линейного уравнения парной регрессии, расчет линейного коэффициента парной корреляции и средней ошибки аппроксимации. Определение коэффициентов корреляции и эластичности, индекса корреляции, суть применения критерия Фишера в эконометрике.

    контрольная работа , добавлен 05.05.2010

    Расчет параметров парной линейной регрессии. Оценка статистической значимости уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента. Построение матрицы парных коэффициентов корреляции. Статистический анализ с помощью ППП MS EXCEL.

    контрольная работа , добавлен 14.05.2008

    Расчет линейного коэффициента парной и частной корреляции. Статистическая значимость параметров регрессии и корреляции. Анализ корреляционного поля данных. Точность прогноза, расчет ошибки и доверительный интервал. Коэффициент множественной детерминации.

    контрольная работа , добавлен 11.12.2010

    Экономическая интерпретация коэффициента регрессии. Нахождение статочной суммы квадратов и оценка дисперсии остатков. Проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Расчет средней относительной ошибки аппроксимации.

    контрольная работа , добавлен 23.03.2010

    Построение доверительного интервала для коэффициента регрессии. Определение ошибки аппроксимации, индекса корреляции и F-критерия Фишера. Оценка эластичности изменения материалоемкости продукции. Построение линейного уравнения множественной регрессии.

    контрольная работа , добавлен 11.04.2015

    Расчет параметров уравнения линейной регрессии, оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Определение средней ошибки аппроксимации. Статистическая надежность моделирования с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

    контрольная работа , добавлен 17.10.2009

    Определение количественной зависимости массы пушного зверька от его возраста. Построение уравнения парной регрессии, расчет его параметров и проверка адекватности. Оценка статистической значимости параметров регрессии, расчет их доверительного интервала.

    лабораторная работа , добавлен 02.06.2014

    Построение гипотезы о форме связи денежных доходов на душу населения с потребительскими расходами в Уральском и Западно-Сибирском регионах РФ. Расчет параметров уравнений парной регрессии, оценка их качества с помощью средней ошибки аппроксимации.

    контрольная работа , добавлен 05.11.2014

    Анализ метода наименьших квадратов для парной регрессии, как метода оценивания параметров линейной регрессии. Рассмотрение линейного уравнения парной регрессии. Исследование множественной линейной регрессии. Изучение ошибок коэффициентов регрессии.

    контрольная работа , добавлен 28.03.2018

    Построение поля корреляции. Расчет параметров уравнений парной регрессии. Зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от некоторых факторов. Изучение "критерия Фишера". Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации.